Divisibilité réciproque

Propriété

Soit $a$ , $b\in \mathbb{Z}$ . Si  $b$ divise  $a$ et si  $a$ divise $b$ , alors $\left|a\right|=\left|b\right|$ .

Démonstration

• Dans un premier temps, démontrons la propriété lorsque $a$ , $b\in \mathbb{N}$ .
  On doit prouver que $a=b$ .
  Supposons d’abord que $a$ , $b\in \mathbb{N}\setminus \left\{0\right\}$ .
  Comme  $b$ divise $a$ , il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $a=kb$ .
  Comme $a>0$ et $b>0$ , on a $k>0$ (en fait, $k⩾1$ ) et donc $a⩾b$ .
  De même, comme  $a$ divise $b$ , il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $b=ka$ .
  Comme $a>0$ et $b>0$ , on a $k>0$ (en fait, $k⩾1$ ) et donc $b⩾a$ .
  On en déduit que $a=b$ .
  Supposons que $a=0$ .
  Comme  $a$ divise $b$ , on a nécessairement  $b=0$ et donc $a=b=0$ .
  
• Supposons à présent que $a$ , $b\in \mathbb{Z}$ .
  Comme  $b$ divise $a$ , il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $a=kb$ et donc : $\left|a\right|=\left|kb\right|=\left|k\right|\times \left|b\right|=k^{\prime }\left|b\right|$
  avec $k^{\prime }=\left|k\right|\in \mathbb{Z}$ , donc $\left|b\right|$ divise $\left|a\right|$ .
  De la même manière, comme  $a$ divise $b$ , on en déduit que $\left|a\right|$ divise $\left|b\right|$ .
  En appliquant la propriété pour $\left|a\right|$ , $\left|b\right|\in \mathbb{N}$ , on obtient  $\left|a\right|=\left|b\right|$ .