Divisibilité réciproque

Propriété

Soit \(a\) , \(b \in \mathbb{Z}\) . Si  \(b\) divise  \(a\) et si  \(a\) divise \(b\) , alors \(\left\vert a \right\vert = \left\vert b \right\vert\) .

Démonstration

• Dans un premier temps, démontrons la propriété lorsque \(a\) , \(b \in \mathbb{N}\) .
  On doit prouver que \(a=b\) .
  Supposons d’abord que \(a\) , \(b \in \mathbb{N} \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace\) .
  Comme  \(b\) divise \(a\) , il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a=kb\) .
  Comme \(a>0\) et \(b>0\) , on a \(k>0\) (en fait, \(k \geqslant 1\) ) et donc \(a \geqslant b\) .
  De même, comme  \(a\) divise \(b\) , il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(b=ka\) .
  Comme \(a>0\) et \(b>0\) , on a \(k>0\) (en fait, \(k \geqslant 1\) ) et donc \(b \geqslant a\) .
  On en déduit que \(a=b\) .
  Supposons que \(a=0\) .
  Comme  \(a\) divise \(b\) , on a nécessairement  \(b=0\) et donc \(a=b=0\) .
  
• Supposons à présent que \(a\) , \(b \in \mathbb{Z}\) .
  Comme  \(b\) divise \(a\) , il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a=kb\) et donc : \(\left\vert a \right\vert = \left\vert kb \right\vert = \left\vert k \right\vert \times \left\vert b \right\vert = k' \left\vert b \right\vert\)
  avec \(k'=\left\vert k \right\vert \in \mathbb{Z}\) , donc \(\left\vert b \right\vert\) divise \(\left\vert a \right\vert\) .
  De la même manière, comme  \(a\) divise \(b\) , on en déduit que \(\left\vert a \right\vert\) divise \(\left\vert b \right\vert\) .
  En appliquant la propriété pour \(\left\vert a \right\vert\) , \(\left\vert b \right\vert \in \mathbb{N}\) , on obtient  \(\left\vert a \right\vert=\left\vert b \right\vert\) .